Gehirnschmalz-Thread....

Jan22 schrieb

Und weiter geht es mit einem kniffligen mathematischen Rätsel

Ein kegelförmiges Sektglas soll bis zur Hälfte seines Volumens mit Sekt gefüllt werden. Wie hoch muss dazu der Sekt eingefüllt werden?

Enjoy!!
LG

Also die Aufgabe hat es in sich Nachdem ich gestern abned schon wild rumgerechnet habe, habe ich jetzt eine Theorie, wobei ich es schwierig finde, die ohne Zeichnung zu erklären

Wir haben ja im Prinzip 2 Kegel Der eine Kegel ist das Sektglas und der andere das
halbgefüllte Sektglas.

Das Volumen eines Kegels ist 1/3 pi r²h

Das Volumen des gesamten Sektglases ist damit 1/3 pir²h

Das Volumen des halben Sektglases ist kleiner, r und h sind damit auch kleiner..., ich nenne den Radius und die Höhe des halben Sektglases daher mal r1 und h1

Das Volumen des halben Sektglases ist daher
1/3 Pi (r1)²h(1)

Es gilt daher folgende Gleichung

½ (1/3 Pir²h) = 1/3 Pi (r1)²h(1)

Das teile ich durch 1/3 Pi. So das gilt

½ r²h = (r1)²h(1)

Soweit so gut... Wir müssen jetzt herausfinden, wie r und (r1) und h und (h1) zueinander stehen, um die Aufgabe lösen zu können. Dazu folgende Überlegung

Die Volumina der beiden Kegel (= volles und halbgefülltes Sektglas) stehen in einer konstanten Abhängigkeit. Damit stehen aber auch die Radien und Höhen dieser beiden Kegel in einer konstanten Abhängigkeit. Mit anderen Worten der Radius des vollen Glases ist x mal so groß, wie der Radius des halben Glases; die Höhe des vollen Glases ist x mal so groß, wie die Höhe des halben Glases, also

r = x * (r1) und
h = x * (h1)

Wenn ich das jetzt in die obere Gleichung einsetze erhalte ich

½ r²h = (x*r)²*x*h, also
½ r²h = x³r²h

Das teile ich durch r²h und erhalte

½ = x³

x ist damit ca. 0,79.

Das heißt also, der Sekt muss bis zu einer Höhe von ca. 0,79 mal der Höhe des Sektglases eingefüllt werden. Oder einfacher ausgedrückt Die Einfüllhöhe beträgt damit knapp 80 % der Höhe des Sektglases...

Ich hoffe das war jetzt nicht zu wirr, denn ohne Zeichnung ist das schwer zu erklären, was ich meine...

Ich bin gespannt, ob’s stimmt.

LG Gika

High Gika,

die Lösung mit 79% der Gesamthöhe müßte stimmen, denn ich habe eine Lösung von 80% im Hintergrund...
Gestern hatte ich nur keinen Bock mich mit der Mathematik zu beschäftigen...

Gruß

Dann wollen wir mal mit den Jan´schen Sektglsern ein neues Rätsel auftun.

Also, wir nehmen eines der leeren Jan´schen Sektgläser.
Dann füllen wir die anderen bis zur Hälfte - nicht volumenmäßig sondern höhenmäßig - mit Sekt.

Wieviel halbvolle Sektgläser passen in das leere Jan´sche Sektglas bis es voll ist?
Ob das jetzt von der Höhe und der Kegelgrundfläche abhängig ist weiß ich nicht genau, ein Nachrechnen war mir schon immer zu viel Mühe.

Also, dann schätzt einfach mal.

Apropos schätzen

Schätzt mal gedanklich den Durchmesser einer 1-Cent-Münze...und nennt hier Euer Schätzergebnis.

Grüßle

Gika schrieb

Also die Aufgabe hat es in sich Nachdem ich gestern abned schon wild rumgerechnet habe, habe ich jetzt eine Theorie, wobei ich es schwierig finde, die ohne Zeichnung zu erklären

Wir haben ja im Prinzip 2 Kegel Der eine Kegel ist das Sektglas und der andere das
halbgefüllte Sektglas.

Das Volumen eines Kegels ist 1/3 pi r²h

Das Volumen des gesamten Sektglases ist damit 1/3 pir²h

Das Volumen des halben Sektglases ist kleiner, r und h sind damit auch kleiner..., ich nenne den Radius und die Höhe des halben Sektglases daher mal r1 und h1

Das Volumen des halben Sektglases ist daher
1/3 Pi (r1)²h(1)

Es gilt daher folgende Gleichung

½ (1/3 Pir²h) = 1/3 Pi (r1)²h(1)

Das teile ich durch 1/3 Pi. So das gilt

½ r²h = (r1)²h(1)

Soweit so gut... Wir müssen jetzt herausfinden, wie r und (r1) und h und (h1) zueinander stehen, um die Aufgabe lösen zu können. Dazu folgende Überlegung

Die Volumina der beiden Kegel (= volles und halbgefülltes Sektglas) stehen in einer konstanten Abhängigkeit. Damit stehen aber auch die Radien und Höhen dieser beiden Kegel in einer konstanten Abhängigkeit. Mit anderen Worten der Radius des vollen Glases ist x mal so groß, wie der Radius des halben Glases; die Höhe des vollen Glases ist x mal so groß, wie die Höhe des halben Glases, also

r = x * (r1) und
h = x * (h1)

Wenn ich das jetzt in die obere Gleichung einsetze erhalte ich

½ r²h = (x*r)²*x*h, also
½ r²h = x³r²h

Das teile ich durch r²h und erhalte

½ = x³

x ist damit ca. 0,79.

Das heißt also, der Sekt muss bis zu einer Höhe von ca. 0,79 mal der Höhe des Sektglases eingefüllt werden. Oder einfacher ausgedrückt Die Einfüllhöhe beträgt damit knapp 80 % der Höhe des Sektglases...

Ich hoffe das war jetzt nicht zu wirr, denn ohne Zeichnung ist das schwer zu erklären, was ich meine...

Ich bin gespannt, ob’s stimmt.

LG Gika

Hallo Gika,

jetzt bin ich wieder mal platt. Souverän gerechnet und mit dem richtigen Ergebnis. Gratuliere, denn diese Rechnung hat es wirklich in sich. Man hätte es vielleicht noch etwas verkürzen können in der Rechenweise mit dem Strahlensatz, aber so ist es richtig und korrekt. Ich kam mit dem Strahlensatz auf 0,793.
LG
Jan

Jack schrieb

Dann wollen wir mal mit den Jan´schen Sektglsern ein neues Rätsel auftun.

Also, wir nehmen eines der leeren Jan´schen Sektgläser.
Dann füllen wir die anderen bis zur Hälfte - nicht volumenmäßig sondern höhenmäßig - mit Sekt.

Wieviel halbvolle Sektgläser passen in das leere Jan´sche Sektglas bis es voll ist?
Ob das jetzt von der Höhe und der Kegelgrundfläche abhängig ist weiß ich nicht genau, ein Nachrechnen war mir schon immer zu viel Mühe.

Also, dann schätzt einfach mal.

Also ich würde jetzt mal sagen, daß 3 halbvolle Sektgläser in ein ganzes Sektglas passen.
Da wir ja vorhin festgestellt haben, daß die Hälfte volumenmäßig bei ca. 80% liegt, dann sind höhenmäßig 50% ca. ein Drittel des Ganzen volumenmäßig. So müßten an sich drei der halbvollen Gläser in ein ganzes Glas passen.

Apropos schätzen

Schätzt mal gedanklich den Durchmesser einer 1-Cent-Münze...und nennt hier Euer Schätzergebnis.

Also ich habe jetzt keine 1-Cent-Münze vor Augen, aber ich denke jetzt mal, so ein Zentimeter müßte doch hinkommen, oder?

LG
Jan

Jan22 schrieb

Also ich würde jetzt mal sagen, daß 3 halbvolle Sektgläser in ein ganzes Sektglas passen.

Ich habe das vor Jahren im Fernsehen gesehen; es waren schon etwas mehr als 3 Stück....es paßten sage und schreibe 8 halbvolle Gläser in das leere Sektglas.

Jan22 schrieb

Also ich habe jetzt keine 1-Cent-Münze vor Augen, aber ich denke jetzt mal, so ein Zentimeter müßte doch hinkommen, oder?

Auch da hast Du Dich leider etwas verschätz, wie übrigens fast alle...jeder meint es wären so um die 10mm, aber weit gefehlt, es sind 60% mehr, also 16mm....kaum zu glauben, ist aber so.

So, dann hier mal zur Abwechslung wieder es etwas Mathematik

Wo steckt bei dem folgenden "Beweis" der Fehler?

a = b+c
3a-2a = 3b-2b+3c-2c
3a+2b+2c = 2a+3b+3c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3*(a-b-c)= 2*(a-b-c)
3 = 2

Euch allen ein schönes Wochenende...

LG
Jack

Jack schrieb

So, dann hier mal zur Abwechslung wieder es etwas Mathematik

Wo steckt bei dem folgenden "Beweis" der Fehler?

a = b+c
3a-2a = 3b-2b+3c-2c
3a+2b+2c = 2a+3b+3c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3*(a-b-c)= 2*(a-b-c)
3 = 2

Euch allen ein schönes Wochenende...

LG
Jack

Wieso Fehler, Jack, wußtest Du denn nicht, daß 2 und 3 gleich sind?
Jetzt im Ernst, ich denke, der Fehler liegt in der zweiten Zeile. Denn diese müßte so aussehen (3a-2a) = (3b-2b) + (3c-2c)
Man kann also nicht einfach 2a oder 2c unabhängig von der Klammer einfach auf die andere Seite nehmen.
So würde ich das jetzt mal sehen, vielleicht gibt es auch eine andere Erklärung.
LG
Jan

Jan22 schrieb

der Fehler liegt in der zweiten Zeile. Denn diese müßte so aussehen (3a-2a) = (3b-2b) + (3c-2c)

Hallo Jan,

in der zweiten Zeile ist kein Fehler versteckt...."Deine" Klammern sind in dem Fall nicht nötig.

LG

Ist doch ganz einfach Die Aufgabe ist nicht ganz zu Ende durchdacht. Man muss damit rechnen, dass der Therm (oder wie heißt das noch mal) in der Klammer im Ergebnis 0 ist. Und jede Zahl mal 0 = 0

Setzen wir doch mal Zahlen für a, b und c
a=5
b=2
c=3

5 = 2+3
3*5 - 2*5 = 3*2 - 2*2 + 3*3 - 2*3
3*5 + 2*2 + 2*3 = 2*5 + 3*2 + 3*3
3*5 -3*2 - 3*3 = 2*5 -2*2 -2*3
3*(5-2-3) = 2 (5-2-3)
3*0 = 2*0
0=0

Liebe Grüße von Eurer Nichtmathematikerin, die es dennoch hin und wieder mal versucht.

Bingo, Kerstin, Du hast den Fehler entdeckt.

Dann weiter im Galopp, was ist an der Beweisführung falsch?

-20 = -20
16-36 = 25-45
16-36+81/4 = 25-45+81/4
(4-9/2)^2 = (5-9/2)^2
4-9/2 = 5-9/2
4 = 5

Grüßle
Jack

Jack schrieb

Bingo, Kerstin, Du hast den Fehler entdeckt.

Dann weiter im Galopp, was ist an der Beweisführung falsch?

-20 = -20
16-36 = 25-45
16-36+81/4 = 25-45+81/4
(4-9/2)^2 = (5-9/2)^2
4-9/2 = 5-9/2
4 = 5

Grüßle
Jack

Es ist nicht zulässig, analog die Wurzel zu ziehen, da von einem Minusvorzeichen auszugehen ist. Ich glaube, die entsprechende Formel ist x^2 = (-x)^2 oder so ähnlich.
Gruß
Jan

Hallo,

Es ist nicht zulässig, analog die Wurzel zu ziehen, da von einem Minusvorzeichen auszugehen ist.

Ich denke, das hat nicht mal was mit dem Minuszeichen zu tun. Das Ziehen einer Wurzel kann auf den beiden Seiten des = eine jeweils andere Zahl bedeuten. Weiss nicht, wie ich es erklären soll.

donquichote

Jack schrieb

Jan22 schrieb

Also ich würde jetzt mal sagen, daß 3 halbvolle Sektgläser in ein ganzes Sektglas passen.

Ich habe das vor Jahren im Fernsehen gesehen; es waren schon etwas mehr als 3 Stück....es paßten sage und schreibe 8 halbvolle Gläser in das leere Sektglas.

Nur ganz kurz

Das lässt sich auch mathematisch begründen

Wenn Das Volumen eines Kegels 1/3 pi r²h ist

Dann ist das Volumen V[k) eines Kegels, der nur bis zu halben Höhe gefüllt ist

V(k) = 1/3 pi (½r)² 1/2 h; das aufgelöst ergibt

V(k) = 1/24 pi r²h

Und das ist 1/8 des Volumens des “großen” Kegels, der ja das Volumen 1/3 pi r²h hat.

LG Gika)

Jack schrieb

Bingo, Kerstin, Du hast den Fehler entdeckt.

Dann weiter im Galopp, was ist an der Beweisführung falsch?

-20 = -20
16-36 = 25-45
16-36+81/4 = 25-45+81/4
(4-9/2)^2 = (5-9/2)^2
4-9/2 = 5-9/2
4 = 5

Grüßle
Jack

Ich würde sagen, dass

(4-9/2)² = nicht gleich 16-36+8 1/4 ist.

Nach der binomischen Formel ist
(4-9/2)²=16-36+20 1/4

Entsprechendes gilt für (5-9/2)² = 25-45-20 1/4

Daher stimmt die weitere "Beweisführung" dann nicht dann natürlich nicht mehr...

LG Gika

Gika schrieb

Ich würde sagen, dass

(4-9/2)² = nicht gleich 16-36+8 1/4 ist.

Nach der binomischen Formel ist
(4-9/2)²=16-36+20 1/4

Hallo Gika,

da hast Du Dich wohl verlesen, es soll nicht 8 1/4, sondern 81/4 oder 81* 1/4 heißen....denn dann paßt der Binom wieder...

Aber Jan und Don haben schon recht, das Wurzelziehen ist keine eindeutige Funktion .
Jede Zahl hat zwei Quadratwurzeln, beispielsweise 2*2=4 und (-2)*(-2)=4, also sind 2 und -2 die Wurzeln aus 4.
Auf der linken Seite wurde die negative Wurzel gewählt, auf der rechten die positive.
Richtig wäre in dem Fall beispielsweise

9/2-4 = 5-9/2
1/2 = 1/2

Grüßle

Gika schrieb

Wenn Das Volumen eines Kegels 1/3 pi r²h ist

Dann ist das Volumen V[k) eines Kegels, der nur bis zu halben Höhe gefüllt ist

V(k) = 1/3 pi (½r)² 1/2 h; das aufgelöst ergibt

V(k) = 1/24 pi r²h

Und das ist 1/8 des Volumens des “großen” Kegels, der ja das Volumen 1/3 pi r²h hat.

Danke Gika für Deine Berechnung...jetzt hat die Sache mit dem Sektglas Hand und Fuß!

LG

Neues Rätsel

Bedingt durch einen raschen beruflichen Aufstieg starb er.

Was für einen Beruf hatte der Arme?

Viel Spaß!!

Hallo,

"Versuchskaninchen"?

donquichote

donquichote schrieb

Hallo,

"Versuchskaninchen"?

donquichote

Hi Don,

ist das ein Beruf???
Ich glaube, Ihr müßt noch weiterraten.
Scharfes Avatar, das Du da hast, übrigens lol
LG

High,

wie wäre es mit Generalbundesanwalt?
Ist damals Buback nicht in Windeseile die Karrieretreppe hochgestolpert?

Aber diese Lösung wäre wohl zu markaber.

LG

PS. Don, das stimmt, hast´n scharfes Avatar... Hast Du das selbst zusammengebastelt?